نظرية الأعداد
نظرية الأعداد فرع من فروع الرياضيات يُعنى بدراسة مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة، مثل ١، ٢، ٣، ٤، ٥، ٦، ...، والتي تُسمى أيضًا مجموعة الأعداد الطبيعية، وتُسمى أحيانًا "الحسابات العليا".
تُساعد نظرية الأعداد على دراسة العلاقات بين أنواع مختلفة من الأعداد. تُقسّم الأعداد الطبيعية إلى أزمنة مختلفة. إليك بعض الأمثلة المألوفة وغير المألوفة مع مقدمة سريعة لنظرية الأعداد.
جدول المحتويات:
)))مقدمة
)))المواضيع
)))التطبيقات
)))المسائل المحلولة
مقدمة في نظرية الأعداد
في نظرية الأعداد، تُصنف الأعداد إلى أنواع مختلفة، مثل الأعداد الطبيعية، والأعداد الصحيحة، والأعداد المركبة، وما إلى ذلك. فيما يلي التصنيفات الفرعية للأعداد الطبيعية:
الأعداد الفردية: ١، ٣، ٥، ٧، ٩، ١١، ١٣، ١٥، ١٧، ١٩...
الأعداد الزوجية: ٢، ٤، ٦، ٨، ١٠، ١٢، ١٤، ١٦، ١٨، ٢٠، ٢٢...
الأعداد المربعة: ٤، ٩، ١٦، ٢٥، ٣٦، ٤٩، ٦٤، ٨١، ١٠٠...
الأعداد المكعبة: ٨، ٢٧، ٦٤، ١٢٥، ٢١٦، ٣٤٣، ٥١٢...
الأعداد الأولية - ٢، ٣، ٥، ٧، ١١، ١٣، ١٧، ١٩، ٢٣، ٢٩، ٣١، ٣٧، ٤١، ٤٣، ٤٧، ٥٣، ٥٩، ٦١...
الأعداد المركبة - ٤، ٦، ٨، ٩، ١٠، ١٢، ١٤، ١٥، ١٦، ١٨، ٢٠، ٢١، ٢٢، ٢٤...
١ (بمقياس ٤) الأعداد - ١، ٥، ٩، ١٣، ١٧، ٢١، ٢٥...
٣ (بمقياس ٤) الأعداد - ٣، ٧، ١١، ١٥، ١٩، ٢٣، ٢٧...
الأعداد المثلثية - ٣، ٦، ١٠، ١٥، ٢١، ٢٨، ٣٦، ٤٥،...
الأعداد الكاملة - ٦، ٢٨، ٤٩٦، ٨١٢٨،...
أعداد فيبوناتشي -١، ١، ٢، ٣، ٥، ٨، ١٣، ٢١، ٣٤، ٥٥، ٨٩...
العديد من هذه الأنواع من الأعداد، مثل الأعداد الفردية والزوجية والمربعة والمكعبة والأعداد الأولية والمركبة، مألوفة لديك بالفعل. أما الحالات الأخرى، مثل الأعداد "المعيارية ٤"، والأعداد المثلثية، والأعداد الكاملة، وأعداد فيبوناتشي، فهي غير مألوفة لديك.
مواضيع نظرية الأعداد
الأعداد الزوجية: تُسمى الأعداد التي تُقسّم بالتساوي على ٢ أعدادًا زوجية.
الأعداد الفردية: تُسمى الأعداد التي لا تُقسّم بالتساوي على ٢ أعدادًا فردية.
الأعداد المربعة: يُسمى العدد المضروب في نفسه أعدادًا مربعة.
الأعداد المكعبة: يُسمى العدد المضروب في نفسه ٣ مرات أعدادًا مكعبة.
الأعداد الأولية: إذا كان للعدد عاملان فقط: ١، ويُسمى العدد أعدادًا أولية.
الأعداد الأولية المشتركة: يُسمى عددان عددين أوليين مشتركين، إذا كان أكبر عامل مشترك بينهما هو ١.
الأعداد المركبة: العدد المركب له أكثر من عاملين. الأعداد المركبة هي الأعداد التي ليست أعدادًا أولية. العدد ١ ليس أوليًا ولا مركبًا. أعداد بمعامل 4: يُقال إن العدد هو 1 (بمعامل 4) إذا بقي منه 1 عند قسمته على 4. وبالمثل، إذا بقي من العدد 3 عند قسمته على 4، يُقال إنه 3 (بمعامل 4).
الأعداد المثلثية: يُقال إن العدد هو عدد مثلثي إذا أمكن ترتيب هذا العدد من الحصى في مثلث باستخدام حصاة واحدة في الأعلى، وحصاتين في الصف التالي، وثلاث حصى في الصف التالي، وهكذا.
أعداد فيبوناتشي: تُنشأ أعداد فيبوناتشي بدءًا من 1 و1، ثم نحصل على الرقم التالي في القائمة ونجمع الرقمين السابقين. لنفترض أن 1 + 1 = 2، ثم نضيف 1 + 2 ونحصل على 3، ثم نضيف 2 + 3 ونحصل على 5، ثم 3 + 5 ونحصل على 8، وهكذا.
تطبيقات نظرية الأعداد
فيما يلي بعض أهم تطبيقات نظرية الأعداد. تُستخدم نظرية الأعداد لإيجاد بعض اختبارات قابلية القسمة المهمة، مثل معرفة ما إذا كان عدد صحيح m يقسم عددًا صحيحًا n. لنظرية الأعداد تطبيقات لا حصر لها في الرياضيات، بالإضافة إلى تطبيقات عملية مثل:
أنظمة الأمن، مثل الأوراق المالية المصرفية
مواقع التجارة الإلكترونية
نظرية الترميز
الباركود
تصميم التصاميم المعيارية
أنظمة إدارة الذاكرة
أنظمة المصادقة
تُعرّف أيضًا في دوال التجزئة، والتطابقات الخطية، والأعداد شبه العشوائية، والعمليات الحسابية السريعة.
المسائل والحلول
راجع مسائل نظرية الأعداد المذكورة مرة واحدة لفهمها بشكل أفضل.
المسألة ١: إيجاد القاسم المشترك الأكبر (G.C.D) للعددين ٣٠ و٥٢
الحل:
قواسم العدد ٣٠ هي ١، ٢، ٣، ٥، ٦، ١٠، ١٥، ٣٠
قواسم العدد ٥٢ هي ١، ٢، ٤، ١٣، ٢٦، ٥٢
القاسم المشترك في العددين ٣٠ و٥٢ هو ٢
لذا، فإن القاسم المشترك الأكبر (G.C.D) للعددين ٣٠ و٥٢ هو ٢
القاسم المشترك الأكبر (٣٠، ٥٢) = ٢
المسألة ٢: إيجاد العوامل المشتركة للعددين ١٠ و١٦
الحل:
عوامل العدد ١٠ هي:
٢ × ٥ = ١٠
١ × ١٠ = ١٠
لذا، العوامل هي ١، ٢، ٥، و١٠
عوامل العدد ١٦ هي:
٤ × ٤ = ١٦
١ × ١٦ = ١٦
٢ × ٨ = ١٦
إذن، عوامل العدد ١٦ هي: ١، ٢، ٤، ٨، ١٦
العاملان المشتركان هما ١ و٢.
المسألة ٣: أثبت أن أكبر عامل للعدد هو العدد نفسه.
الحل:
افترض أن العدد ٢٤
عوامل العدد ٢٤ هي:
١ × ٢٤ = ٢٤
١٢ × ٢ = ٢٤
٨ × ٣ = ٢٤
٦ × ٤ = ٢٤
عوامل العدد ٢٤ هي: ١، ٢، ٣، ٤، ٦، ٨، ١٢، و٢٤
من هنا، يمكننا القول إن ٢٤ هو أكبر عامل للعدد ٢٤.