نظرية فيثاغورس موضوعٌ مهمٌ في الرياضيات

 نظرية فيثاغورس

 نظرية فيثاغورس موضوعٌ مهمٌ في الرياضيات، إذ تشرح العلاقة بين أضلاع المثلث قائم الزاوية. تُسمى أضلاع المثلث قائم الزاوية أيضًا بثلاثيات فيثاغورس. صيغة هذه النظرية وبرهانها موضحان هنا مع أمثلة.

تُستخدم نظرية فيثاغورس أساسًا لإيجاد طول ضلع مجهول وزاوية المثلث. باستخدام هذه النظرية، يُمكننا استنتاج صيغ القاعدة، والعمود، والوتر. لنتعرف على رياضيات نظرية فيثاغورس بالتفصيل هنا.

نص نظرية فيثاغورس

تنص نظرية فيثاغورس على أنه "في المثلث القائم الزاوية، مربع ضلع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين". وقد سُميت أضلاع هذا المثلث بالعمودي، والقاعدة، والوتر. الوتر هو أطول ضلع، لأنه يُقابل الزاوية 90 درجة. تُوضع أضلاع المثلث القائم الزاوية (مثلاً a، b، c) ذات القيم الصحيحة الموجبة، عند تربيعها، في معادلة تُسمى أيضًا ثلاثية فيثاغورس.

مثلث قائم الزاوية

التاريخ

سُمِّيت النظرية على اسم عالم الرياضيات اليوناني فيثاغورس.

صيغة نظرية فيثاغورس

انظر إلى المثلث المذكور أعلاه:

حيث "a" هو العمود،

"b" هي القاعدة،

"c" هو الوتر.

وفقًا للتعريف، تُعطى صيغة نظرية فيثاغورس كما يلي:

الوتر² = القاعدة² + العمود²

c2 = a2 + b2  

الضلع المقابل للزاوية القائمة (90 درجة) هو الضلع الأطول (يُعرف باسم الوتر).

لنفترض وجود ثلاثة مربعات، أضلاعها a، b، c، متصلة بأضلاع مثلث لها نفس الأضلاع الموضحة.

باستخدام نظرية فيثاغورس -

مساحة المربع "a" + مساحة المربع "b" = مساحة المربع "c".

مثال

فيما يلي أمثلة على النظرية، بناءً على العبارة الواردة للمثلثات القائمة الزاوية:

لنفترض وجود مثلث قائم الزاوية، كما هو موضح أدناه:

أوجد قيمة x

x هو الضلع المقابل للزاوية القائمة، وبالتالي فهو وتر.

باستخدام النظرية، نعرف أن:

الوتر² = القاعدة² + العمود²

x² = 82 + 62

x² = 64 + 36 = 100

x = √100 = 10

إذن، قيمة x هي 10.

إثبات نظرية فيثاغورس

المعلوم: المثلث  ABC، قائم الزاوية في B.

لإثبات: AC² = AB² + BC²

التركيب: ارسم خطًا عموديًا BD يلتقي مع AC في D.

البرهان:

نعلم أن △ADB ~ △ABC

لذا،

(الأضلاع المتناظرة في المثلثات المتشابهة)

أو، AB2 = AD × AC …………………………..……..(1)

وأيضًا، △BDC ~△ABC

لذا،

(الأضلاع المتناظرة في المثلثات المتشابهة)

أو، BC2 = CD × AC ……………………………………..(2)

بجمع المعادلتين (1) و(2) نحصل على:

AB2 + BC2 = AD × AC + CD × AC

AB2 + BC2 = AC (AD + CD)

بما أن AD + CD = AC

لذا، AC2 = AB2 + BC2

وبالتالي، تم إثبات نظرية فيثاغورس.

ملاحظة: تنطبق نظرية فيثاغورس فقط على المثلث قائم الزاوية.

تطبيقات نظرية فيثاغورس

لمعرفة ما إذا كان المثلث قائم الزاوية أم لا.

في المثلث قائم الزاوية، يمكننا حساب طول أي ضلع إذا عُرف طولا الضلعين الآخرين.

لإيجاد قطر المربع.

تفيد نظرية فيثاغورس في إيجاد أضلاع المثلث قائم الزاوية. إذا عُرف طولا ضلعي المثلث قائم الزاوية، فيمكننا إيجاد طول الضلع الثالث.

كيف نستخدم نظرية فيثاغورس؟

لاستخدام نظرية فيثاغورس، تذكر الصيغة التالية:

c² = a² + b²

حيث a، b، c هي أضلاع المثلث قائم الزاوية.

على سبيل المثال، إذا كانت أضلاع المثلث أ هي a، b، c، بحيث a = 3 سم، b = 4 سم، وج هو الوتر. أوجد قيمة c.

نعلم أن:

c^2 = a^2 + b^2

C^2 = 32+42

C^2 = 9+16

C^2 = 25

C= √25

C= 5 سم

إذن، طول الوتر هو 5 سم.

كيف نحدد ما إذا كان المثلث قائم الزاوية؟

إذا كانت لدينا أطوال ثلاثة أضلاع في مثلث، ولتحديد ما إذا كان قائم الزاوية أم لا، علينا استخدام نظرية فيثاغورس.

لنفهم هذه العبارة بمثال.

لنفترض أن لدينا مثلثًا أطوال أضلاعه 10 سم، 24 سم، و26 سم.

من الواضح أن طول الضلع 26 سم هو أطول ضلع.

كما أنه يُحقق الشرط 10 + 24 > 26

نعلم أن:

c2 = a2 + b2    ………(1)

إذن، لنفترض أن a = 10, b = 24 و c = 26

أولًا، سنحل المعادلة 1 بـ RH.S.

a2 + b2 = 102 + 242 = 100 + 576 = 676

الآن، بأخذ المعادلة LH.S.، نحصل على:

c2 = 262 = 676

نلاحظ أن:

LHS = RHS

لذا، المثلث المعطى قائم الزاوية، لأنه يُحقق نظرية فيثاغورس.

معرفة لك تتمنى ان يكون المقال قد انار شعلة في مكان مظلم