الأعداد الحقيقية في الرياضيات

 الأعداد الحقيقية

 الأعداد الحقيقية هي ببساطة مزيج من الأعداد النسبية وغير النسبية في نظام الأعداد. عمومًا، يمكن إجراء جميع العمليات الحسابية على هذه الأعداد، ويمكن تمثيلها أيضًا على خط الأعداد. في الوقت نفسه، الأعداد التخيلية هي الأعداد غير الحقيقية، والتي لا يمكن التعبير عنها على خط الأعداد، وتُستخدم عادةً لتمثيل الأعداد المركبة. من أمثلة الأعداد الحقيقية: 23، -12، 3,99، /25،، وهكذا. في هذه المقالة، سنناقش تعريف الأعداد الحقيقية، وخصائصها، وأمثلة عليها مع شرح شامل.

جدول المحتويات:

• التعريف
• مجموعة الأعداد الحقيقية
• المخطط
• خصائص الأعداد الحقيقية

1.  الإبدالية
2. التجميعية
3. التوزيعية
4. المتطابقة

• أمثلة محلولة
• أسئلة تدريبية
• الأسئلة الشائعة

تعريف الأعداد الحقيقية

تُعرَّف الأعداد الحقيقية بأنها اتحاد الأعداد النسبية وغير النسبية. ويمكن أن تكون موجبة أو سالبة، ويُرمز لها بالرمز "R". وتندرج جميع الأعداد الطبيعية والعشرية والكسور ضمن هذه الفئة. انظر الشكل أدناه، الذي يوضح تصنيف الأعداد الحقيقية.

مجموعة الأعداد الحقيقية

تتكون مجموعة الأعداد الحقيقية من فئات مختلفة، مثل الأعداد الطبيعية، والأعداد الصحيحة، والأعداد النسبية، والأعداد غير النسبية. ، يتم تعريف جميع صيغ الأعداد الحقيقية (أي تمثيل تصنيف الأعداد الحقيقية) مع أمثلة.

مثال على تعريف الفئة

الأعداد الطبيعية: جميع الأعداد التي تبدأ من 1.

N = {1، 2، 3، 4، ...}

جميع الأعداد مثل 1، 2، 3، 4، 5، 6، ...

الأعداد الصحيحة: مجموعة الأعداد الصفرية والأعداد الطبيعية.

W = {0، 1، 2، 3، ...}

جميع الأعداد التي تتضمن 0 مثل 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، ...

الأعداد الصحيحة: مجموع الأعداد الصحيحة وسالب جميع الأعداد الطبيعية. تشمل: - ما لا نهاية (∞)، ... - 4، - 3، - 2، - 1، 0، 1، 2، 3، 4، ... + ما لا نهاية (∞)

الأعداد النسبية: الأعداد التي يمكن كتابتها على شكل ص/ق، حيث ق ≠ 0. من أمثلة الأعداد النسبية: ½، 5/4، و12/6، إلخ.

الأعداد غير النسبية: هي الأعداد غير النسبية التي لا يمكن كتابتها على شكل p/q. الأعداد غير النسبية غير منتهية وغير متكررة بطبيعتها، مثل 2√.

مخطط الأعداد الحقيقية

يوضح الجدول أدناه مجموعة الأعداد الحقيقية بجميع أنواعها:

خصائص الأعداد الحقيقية

فيما يلي الخصائص الرئيسية الأربع للأعداد الحقيقية:

• خاصية التبديل
• خاصية التجميع
• خاصية التوزيع
• خاصية المطابقة

لنفترض أن "م، ن، و ر" ثلاثة أعداد حقيقية. يمكن وصف الخصائص المذكورة أعلاه باستخدام م، ن، و ر كما هو موضح أدناه:

خاصية التبديل

إذا كانت م و ن هما الأعداد، فإن الصيغة العامة ستكونm + n = n + m للجمع، و m × n = n × m للضرب.

الجمع: m + n = n + m. على سبيل المثال، 5 + 3 = 3 + 5, 2 + 4 = 4 + 2..

الضرب: m × n = n × m. على سبيل المثال، 5 × 3 = 3 × 5, 2 × 4 = 4 × 2.

خاصية التجميع

إذا كانت m، n، و r هي الأعداد. الصيغة العامة هي م + (ن + ر) = (م + ن) + ر للجمع (mn) r = m (nr)  للضرب.

الجمع: الصيغة العامة هي m + (n + r) = (m + n) + r. مثال على خاصية الجمع التجميعي هو 

10 + (3 + 2) = (10 + 3) + 2.

الضرب: (mn) r = m (nr) . مثال على خاصية الضرب التجميعي هو (2 × 3) 4 = 2 (3 × 4)

خاصية التوزيع

بالنسبة للأعداد الثلاثة m وn وr، وهي أعداد حقيقية، تُمثَّل خاصية التوزيع على النحو التالي:

m (n + r) = mn + mr and (m + n) r = mr + nr.

مثال على خاصية التوزيع هو  5(2 + 3) = 5 × 2 + 5 × 3    هنا، كلا الجانبين سوف يعطي 25.

خاصية الهوية

هناك هويات جمع وضرب.

في الجمع: m + 0 = m. (0 هي الهوية الجمعيّة).

في الضرب: m × 1 = 1 × m = m. (1 هي الهوية الضربيّة).

أمثلة محلولة

المثال 1:

أوجد خمسة أعداد نسبية بين 1/2 و3/5.

الحل:

سنجعل المقام متساويًا لكلا العددين النسبيين المعطىين:

(1 × 5)/(2 × 5) = 5/10 و(3 × 2)/(5 × 2) = 6/10

الآن، اضرب بسط ومقام العددين النسبيين في 6، ليصبح لدينا:

(5 × 6)/(10 × 6) = 30/60 و(6 × 6)/(10 × 6) = 36/60

خمسة أعداد نسبية بين 1/2 = 30/60 و3/5 = 36/60 هي:

31/60، 32/60، 33/60، 34/60، 35/60.

أسئلة تدريبية

1. ما هو أصغر عدد مركب؟
2. أثبت أن أي عدد صحيح فردي موجب يكون على الصورة  6x + 1, 6x + 3, او 6x + 5..
3. أوجد قيمة 2 + 3 × 6 – 5.
4. ما هو حاصل ضرب عدد نسبي غير صفري وعدد غير نسبي؟
5. هل يمكن تمثيل كل عدد صحيح موجب بالشكل  4x + 2  (حيث x عدد صحيح)؟

أسئلة شائعة حول الأعداد الحقيقية

س1

ما هي الأعداد الطبيعية والأعداد الحقيقية؟

الأعداد الطبيعية هي جميع الأعداد الصحيحة الموجبة، بدءًا من 1 إلى ما لا نهاية. جميع الأعداد الطبيعية أعداد صحيحة، ولكن ليست جميع الأعداد الصحيحة أعدادًا طبيعية. هذه هي مجموعة الأعداد المعدودة، مثل 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، …….∞.

الأعداد الحقيقية هي الأعداد التي تشمل الأعداد النسبية وغير النسبية. الأعداد النسبية، مثل الأعداد الصحيحة (-2، 0، 1)، والكسور (1/2، 2.5)، والأعداد غير النسبية مثل √3، π(22/7)، إلخ، جميعها أعداد حقيقية.

س2

هل الصفر عدد حقيقي أم تخيلي؟

يُعتبر الصفر عددًا حقيقيًا وتخيليًا. كما نعلم، الأعداد التخيلية هي الجذر التربيعي للأعداد الحقيقية غير الموجبة. وبما أن 0 أيضًا عدد غير موجب، فإنه يستوفي شروط العدد التخيلي. بينما 0 أيضًا عدد نسبي، وهو مُعرَّف على خط الأعداد، وبالتالي فهو عدد حقيقي.

س3

هل توجد أعداد حقيقية ليست نسبية أو غير نسبية؟

لا، لا توجد أعداد حقيقية ليست نسبية ولا غير نسبية. ينص تعريف الأعداد الحقيقية نفسه على أنها مزيج من الأعداد النسبية وغير النسبية.

س4

هل العدد الحقيقي مجموعة جزئية من عدد مركب؟

نعم، لأن العدد المركب هو مزيج من عدد حقيقي وعدد تخيلي. لذا، إذا كان العدد المركب مجموعة، فإن الأعداد الحقيقية والتخيلية مجموعتان جزئيتان منه.

س5

ما هي خصائص الأعداد الحقيقية؟

خصائص الأعداد الحقيقية هي:

• خاصية التبديل
• خاصية التجميع
• خاصية التوزيع
• خاصية التطابق

س6

هل √3 عدد حقيقي؟

نعم، √3 عدد حقيقي. نعلم أن العدد الحقيقي هو مزيج من الأعداد النسبية وغير النسبية. بما أن √3 عدد غير نسبي، فيمكننا أيضًا القول إن √3 عدد حقيقي.

س7

هل 3i عدد حقيقي؟

لا، 3i ليس عددًا حقيقيًا، لأنه يحتوي على جزء تخيلي.

س8

ما هي المجموعات الفرعية المختلفة للأعداد الحقيقية؟

تشمل المجموعات الفرعية للأعداد الحقيقية الأعداد النسبية، والأعداد غير النسبية، والأعداد الطبيعية، والأعداد الصحيحة.