الأعداد النسبية وغير النسبية
الأعداد النسبية وغير النسبية أعداد حقيقية، ولكنها تختلف في خصائصها. العدد النسبي هو العدد الذي يمكن تمثيله بصيغة P/Q، حيث P وQ عددان صحيحان وQ ≠ 0. أما العدد غير النسبي فلا يمكن كتابته بصيغة كسور بسيطة. ⅔ مثال على عدد نسبي، بينما √2 عدد غير نسبي.
لنتعرف أكثر هنا على الأمثلة والفرق بينهما.
جدول المحتويات:
- التعريف
- كيفية التصنيف
- الفرق
- أمثلة
- أسئلة تدريبية
- الأسئلة الشائعة
تعريفات
ما هو العدد النسبي؟
الأعداد النسبية هي أعداد يمكن التعبير عنها ككسر، وكذلك كأعداد موجبة وسالبة وصفر. يمكن كتابتها على هيئة p/q، حيث q لا يساوي الصفر.
كلمة "نسبي" مشتقة من كلمة "نسبة"، والتي تعني في الواقع مقارنة قيمتين أو أكثر أو عددين صحيحين، وتُعرف باسم الكسر. ببساطة، هي نسبة عددين صحيحين.
مثال: 3/2 عدد نسبي. هذا يعني أن العدد الصحيح 3 مقسوم على عدد صحيح آخر 2.
ما هو العدد غير النسبي؟
الأعداد غير النسبية تُسمى أعدادًا غير نسبية. لنبدأ بالشرح، يمكن كتابة الأعداد غير النسبية كأعداد عشرية، ولكن ليس ككسور، مما يعني أنه لا يمكن كتابتها كنسبة بين عددين صحيحين.
الأعداد غير النسبية لها أرقام غير متكررة لا نهائية بعد الفاصلة العشرية. فيما يلي مثال على عدد غير نسبي:
مثال: 8√ = 2.828...
كيف نُصنّف الأعداد النسبية وغير النسبية؟
لنرَ كيف نُميّز الأعداد النسبية وغير النسبية بناءً على الأمثلة المُعطاة.
وفقًا للتعريف، تشمل الأعداد النسبية جميع الأعداد الصحيحة والكسور والأعداد العشرية المتكررة. لكل عدد نسبي، يُمكن كتابته بصيغة p/q، حيث p وq قيمتان صحيحتان.
مخطط فين
توضح الصورة أدناه مخطط فين للأعداد النسبية وغير النسبية التي تندرج تحت الأعداد الحقيقية.
الفرق بين الأعداد النسبية وغير النسبية
- تُعبَّر عنها بالنسبة، حيث يكون كلٌّ من البسط والمقام أعدادًا صحيحة.
- وتشمل المربعات الكاملة.
- يُنفِّذ التوسع العشري للأعداد النسبية أعدادًا عشرية محدودة أو متكررة.
- لا يمكن التعبير عن الأعداد غير النسبية ككسور أو بنسبة عددين صحيحين.
- تشمل الأعداد الصماء.
- هنا، يتم تنفيذ الأعداد العشرية غير المنتهية وغير الدورية.
أمثلة
توجد هنا قائمة بأمثلة على الأعداد النسبية وغير النسبية.
أمثلة على الأعداد النسبية
يمكن كتابة العدد 9 على هيئة 9/1، حيث أن 9 و1 عددان صحيحان.
يمكن كتابة 0.5 على هيئة ½، أو 5/10، أو 10/20، وبصورة جميع الأعداد العشرية المنتهية.
√81 عدد نسبي، إذ يمكن تبسيطه إلى 9، ويمكن التعبير عنه على هيئة 9/1.
0.7777777 عدد عشري دوري، وهو عدد نسبي.
أمثلة على الأعداد غير النسبية
وبالمثل، وبما أننا سبق أن عرّفنا أن الأعداد غير النسبية لا يمكن التعبير عنها على هيئة كسر أو نسبة، فلنفهم هذه المفاهيم من خلال بعض الأمثلة.
π عدد غير نسبي قيمته 3.142... وهو عدد لا ينتهي ولا يتكرر.
√2 عدد غير نسبي، إذ لا يمكن تبسيطه.
0.212112111... عدد نسبي، إذ إنه غير دوري وغير منتهٍ.
هناك أمثلة أخرى كثيرة، إلى جانب الأمثلة المذكورة أعلاه، تُميّز بين الأعداد النسبية والأعداد غير النسبية.
خصائص الأعداد النسبية وغير النسبية
فيما يلي بعض الخصائص المُستندة إلى العمليات الحسابية، مثل الجمع والضرب، التي تُجرى على العدد النسبي والعدد غير النسبي.
1: مجموع عددين نسبيين هو أيضًا عدد نسبي.
مثال: 1/2 + 1/3 = (3 + 2) / 6 = 5/6
2: حاصل ضرب عددين نسبيين هو عدد نسبي.
مثال: 1/2 × 1/3 = 1/6
3: مجموع عددين غير نسبيين ليس دائمًا عددًا غير نسبي.
مثال: √2+√2 = 2√2 عدد غير نسبي
2+2√5+(-2√5) = 2 عدد نسبي
4: حاصل ضرب عددين غير نسبيين ليس دائمًا عددًا غير نسبي.
مثال: √2 × √3 = √6 (عدد غير نسبي)
√2 × √2 = √4 = 2 (عدد نسبي)
الأسئلة الشائعة -
س1
ما هي الأعداد النسبية والأعداد غير النسبية؟
الأعداد النسبية هي الأعداد التي يمكن التعبير عنها بنسبة (مثل P/Q وQ ≠ 0)، بينما لا يمكن التعبير عن الأعداد غير النسبية ككسر. لكن كلا العددين عددان حقيقيان ويمكن تمثيلهما على خط الأعداد.
س2
ما الفرق بين الأعداد النسبية والأعداد غير النسبية؟
الأعداد النسبية هي أعداد عشرية منتهية ومتكررة، بينما الأعداد غير النسبية هي أعداد غير منتهية وغير متكررة.
س3
أعطِ أمثلة على الأعداد النسبية والأعداد غير النسبية.
من أمثلة الأعداد النسبية: ½، ¾، 7/4، 1/100، إلخ.
من أمثلة الأعداد غير النسبية: √2، √3، ط(π)، إلخ.
س4
هل ط عدد حقيقي؟
باي (π) عدد غير نسبي، وبالتالي فهو عدد حقيقي. القيمة التقريبية لـ π هي 22/7 = 3.14285714286.
س5
هل العدد 4 عدد نسبي؟
نعم، 4 عدد نسبي لأنه يحقق شرط الأعداد النسبية. يمكن التعبير عن 4 بنسبة مثل 4/1، حيث لا يساوي المقام صفرًا.
س6
إذا كان العدد العشري مُمَثَّلًا بخط، فهل يكون عددًا نسبيًا أم غير نسبي؟
يُشير العدد العشري المُمَثَّل بخط إلى أن العدد الذي يليه يتكرر، وبالتالي فهو عدد نسبي.
س7
3.605551275... عدد نسبي أم غير نسبي؟
تُشير علامة الحذف (...) بعد 3.605551275 إلى أن العدد غير منتهٍ، وأنه لا يوجد نمط متكرر هنا. وبالتالي، فهو عدد غير نسبي.